Todos los alumnos llegan a Secundaria sabiendo que p es igual a 3,14. Muchos saben precisar que, en realidad, es un número infinito, que tiene infinitas cifras, que no se repiten...
En mi experiencia docente, el concepto de número irracional se escapa de las mentes de no pocos alumnos, a quienes números así les parecen no irracionales sino irreales, inventados, inexactamente falsos.
Con este sencillo applet se puede hablar de p como la longitud de una circunferencia de diámetro unidad y, al desenrrollar dicha circunferencia, comprobar que esa medida tan real no cae en ninguna de las marcas que el sistema decimal deja en la recta numérica.
Para niveles más altos, el mismo applet sirve para hablar sobre el papel de las funciones e incluso de los límites si se explica el proceso de creación del applet (o, mucho mejor, se realiza in situ o lo realizan ellos mismos con la pertinente guía):
Crea un punto A en el origen de coordenadas y un punto B=(0, 1/2). Traza la circunferencia de centro B que pasa por A.
Crea el deslizador a y fija sus límites entre 0 y 1.
Crea un punto C de coordenadas (0, 0.5/(1-a) ). ¿Dónde se encuentra el punto C? ¿Qué ocurre cuando a=0? ¿Qué ocurre al crecer el valor de a? ¿Dónde está C cuando a=1?
Crea un punto A' resultado de rotar el punto A en torno a C un ángulo de p*(1-a)/0.5. ¿Dónde está A' cuando a=0? ¿A dónde se acerca cuando a se acerca a 1?
Crea el arco de circunferencia de centro C y que une A y A'. ¿Cuánto mide ese arco de circunferencia?
Crea los puntos y segmentos necesarios para mostrar la circunferencia desenrollada (a=1). Utiliza la función SI para que solo sean visibles al desenrollar la circunferencia completamente.
Tengo un cariño especial por este problema, ya que fue uno de los ejercicios de un examen de 3º BUP que me hizo empezar a amar las Matemáticas. Sí, lo he dicho bien: un examen me hizo amar las Matemáticas. Recuerdo salir del aula, comparar las respuestas con los compañeros y exclamar: "Ha sido el examen que más he disfrutado en toda mi vida".
(Actividad basada en la original de NRICH -- Enlace AQUÍ)
Las pruebas combinadas (pentatlón/heptatlón/decatlón) constituyen una de las disciplinas más completas del Atletismo. Consistente en 5/7/10 pruebas que se celebran en tan solo dos días, pone a prueba la fuerza, flexibilidad y resistencia de sus practicantes.
Para valorar la actuación de cada atleta, se le conceden una cantidad de puntos en cada una de las pruebas según la marca realizada. La forma de asignar estos puntos da pie a una interesante actividad que, haciendo variar la dificultad, puede realizarse desde 3º ESO (e incluso 2º) hasta Bachillerato.
Existen dos tipos de pruebas: las de pista (carreras) y las de campo (saltos y lanzamientos). Según sea de uno u otro tipo se utiliza una fórmula para calcular la puntuación:
Mediante una presentación guiada, se plantean tres actividades:
Razonar qué fórmula se aplica para cada tipo de prueba, teniendo en cuenta lo que debe ocurrir al aumentar/disminuir la marca.
Representar gráficamente las funciones en Geogebra (u otro software de representación gráfica) y hacer un estudio de las funciones utilizadas.
Utilizar una hoja de cálculo para calcular la puntuación de dos atletas (Bárbara Hernando, plusmarquista española y Jessica Ennis, campeona olímpica y mundial)
Un cono sólido cuyo radio de la base sea de 1 cm y de 4 cm de altura.
Un tubo cilíndrico hueco de altura 4/3 cm de radio externo 2 cm y radio interno 1 cm.
Haz un boceto de cada uno de los sólidos y calcula el volumen de cada uno de ellos.
Se realizan una serie de experimentos en el que se hace descender mediante un cordel fijado a un punto de cada sólido a un depósito con agua, a una velocidad de descenso de 1 cm/s. Se trazan las gráficas de volumen desplazado de agua contra el tiempo transcurrido.
Los resultados son:
¿Qué representa cada uno de los ejes?
¿Qué curva se corresponde con cada sólido? ¿En qué orientación se introduce cada sólido en el depósito? (Hay un sólido que se usa dos veces, en dos orientaciones distintas)
¿Puedes dibujar la gráfica que correspondería a diferentes orientaciones de cada sólido?
Imagina un sólido de forma diferente: ¿cómo sería su gráfica?
LEGO has recently opened a website called LEGO Ideas in which anyone can submit and/or support new design ideas for the toy company to produce. In order to be accepted by LEGO and subsequently produced and sent into stores as an official LEGO set, the projects have to reach 10k positive votes from other users. Go take a look!
The projects in the picture are among the most supported and have, at the moment, the highest chance of succeeding in becoming an official LEGO product.
So what do you think? Will they make it?
Make an educated guess for each of the projects. Look at how many days to collect supporters are left and how many votes they have received so far.
How can we improve this guess? What can we calculate to determine whether they are going to reach 10k votes on time or not?
Can we know when are they expected to get to the threshold?
(Actividad original de Dan Meyer -- Enlace AQUÍ CC BY-NC 3.0 Dan Meyer From a clip found by Timon Piccini Futurama copyright 20th Century Fox)
ACTO I
Aunque el vídeo está en inglés debe ser sencillo de entender, especialmente si los alumnos están familiarizados con la serie Futurama. En cualquier caso, con una breve explicación de la situación debería bastar: "Fry, que ha despertado en el futuro tras pasar congelado mil años, acude a su viejo banco para sacar el dinero de su cuenta. Tras pasar la tarjeta por el viejo lector, la empleada del banco comprueba que, efectivamente, tenía unos pocos céntimos en su cuenta y al aplicarle el interés anual durante mil años se obtiene una cantidad que provoca en Fry una curiosa reacción"
¿Cuánto dinero ha acumulado Fry en su cuenta?
Escribe una cantidad demasiado alta. Una demasiado baja.
Trata de estimar acertadamente la cantidad.
ACTO II
Los datos se encuentran en el propio vídeo: "Tenía un balance de 93 centavos que a un interés medio del 2,25% (dos y un cuarto) en un periodo de mil años hace un total de .... dólares".
ACTO III
"... que a un interés medio del 2,25% (dos y un cuarto) en un periodo de mil años hace un total de 3,4 miles de millones de dólares" (en el vídeo dice 3.4 billion dollars, hay que recordar que el billion americano se corresponde con nuestros miles de millones).
SECUELAS
En mil años Fry ha conseguido esa enorme cantidad de dinero. ¿Cuánto tardará en conseguir el doble?
¿Cuánto tiempo pasará hasta conseguir un billón de dólares (a trillion dollars)?
¿Cuánto dinero es 3400 millones de dólares en euros? ¿Qué representa esa cantidad?
What question comes to your mind? / ¿Qué preguntas se te ocurren?
How many carts are there? How long is the line? / ¿Cuántos carritos hay? ¿Cuánto mide la fila?
How many carts are there at your local supermarket? How long would they measure if we stacked them? / ¿Cuántos carros hay en el supermercado de tu barrio/pueblo? Si los unimos todos, ¿cuánto mediría esa fila?
La pregunta a realizar puede ser cualquiera que involucre el número de carros y la longitud de la fila. La idea es encontrar una función f(x)=ax+b donde b es la longitud del primer carrito y a lo que cada carrito añade a la fila (lo que sobresale al encajarlos). Esto puede utilizarse en 1º/2º ESO como problema de ecuaciones (¿cuántos carritos necesitamos para hacer una fila de un kilómetro / una fila de aquí a vuestra casa ...?) o en 3º/4º ESO como una función lineal incidiendo en el concepto de pendiente, ordenada en el origen, etc...
ACT II
Dos tamaños de carrito distintos. Hay otras medidas por si surgen preguntas adicionales.
ACT III
En este caso no hay...
SEQUEL I
How long would that lane be? How can we understand such a huge number? / ¿Cuánto mediría la fila que formarían los cuatro millones de carritos de Walmart? ¿Cómo podemos comprender esa medida?
SEQUEL II
At the supermarket, you come across with the following situation:
What lane would you choose? (Note the difference between the words line and lane)
What about now? Can we create a model to decide in which lane should we stand?
Una pregunta interesante relacionada con los carritos de la compra es: ¿en qué fila debe uno colocarse cuando hay varios cajeros en el supermercado? Imaginemos una fila con muchas personas pero con pocos objetos cada una y otra con pocas personas pero el carro lleno... ¿qué fila sería conveniente? Sobre este problema se puede encontrar material muy interesante en dos entradas del blog de Dan Meyer: 1 (introducción) y 2 (datos, imágenes, recursos, planteamiento...).
Cuando vi esta actividad en el blog de Fawn Nguyen supe que tenía que cambiar mi forma de dar clases y aprender a realizar este tipo de experiencias en el aula. Con un planteamiento sencillo pero brillante, es una oportunidad fantástica para aprender experimentando. Este año, por fin, me he atrevido y la cosa ha ido bastante bien. Ha habido algunos errores organizativos y un par de cosas que me hubiera gustado cambiar, pero no tengo ninguna duda de que el año que viene repetiré la experiencia.
BARBIE BUNGEE JUMPING (Barbie se va de puenting)
Con tiempo (unos diez días de antelación) les comenté a los alumnos que íbamos a hacer algo diferente y que necesitaba que trajeran un material algo extraño: unas muñecas Barbie. El efecto gancho funcionó bastante bien: pasaron los siguientes días preguntándose qué íbamos a hacer con ellas, para qué serían, qué tienen que ver las Barbies con las matemáticas... Al menos se creó algo de expectativa. Por otro lado, debí asegurarme de que tenía todas las muñecas necesarias antes de comenzar la actividad. Había calculado que los grupos debían ser de 4 miembros para que el reparto de trabajo estuviera equilibrado y para ello necesitaba 8 muñecas. El día en que comenzamos la actividad solo disponíamos de cinco muñecas, por lo que los grupos fueron finalmente demasiado numerosos (punto para corregir el próximo año).
Comenzamos la actividad con el título: Barbie Bungee Jumping. ¿Sabéis lo que es el bungee jumping? ¿Podéis describir ese deporte? ¿Qué otros deportes extremos conocéis? (Aquí se puede trabajar algo de vocabulario en inglés, descripciones, etc...).
A continuación vimos el siguiente vídeo de saltos desde el puente de Ibagué, en Colombia:
¿Qué matemáticas hay involucradas? La altura del salto, el peso de la persona... ¿Qué es lo que tiene que calcular muy bien la empresa que realiza los saltos para no correr riesgos? La longitud de la cuerda.
Pues bien, vamos a ponernos en la piel de esa empresa. Queremos realizar un salto con Barbie desde una altura determinada (que ya conoceremos más adelante). Para ello, disponemos de un poco de cuerda elástica para realizar experimentos (no mucha, ya que la cuerda elástica es un material caro... bueno, nosotros vamos a simularlo con gomillas elásticas, pero da igual).
Planteamos pues la actividad:
Cada grupo dispone de una muñeca y 7 gomillas, una para atarla en los tobillos a la muñeca y otras 6 para construir la cuerda. Además, cuentan con una cinta métrica para poder medir la caída. Al terminar los experimentos pertinentes habrán de solicitar un número adicional de gomillas para construir la versión definitiva de su cuerda y dispondrán de un solo intento para realizar el salto. Ganará el equipo cuyo salto sea más emocionante... pero seguro.
Lo suyo es que sean los propios alumnos quienes decidan cómo van a realizar el experimento, pero... yo no me pude resistir a indicarles un poco lo que debían hacer (otro punto para corregir el próximo año). Sujetamos la muñeca por la gomilla atada a sus tobillos y la dejamos caer: ésa será la altura a la que llega con 0 gomillas.
Añadimos una gomilla y repetimos, dejando caer la Barbie y viendo qué altura alcanza ahora. Anotamos.
Añadimos progresivamente las gomillas, anotando las alturas a las que llega la muñeca en cada salto. (Si los alumnos no están acostumbrados a realizar experimentos realizarán esta parte muy deprisa y sin el cuidado debido... tampoco pasa nada: se pierde un poco más de tiempo y aprenden que, si no quieren repetir todo el trabajo, tienen que pensar en los posibles inconvenientes antes de lanzarse).
En todo el proceso surgen varios inconvenientes: ¿cómo medir la distancia a la que llega la muñeca de forma exacta? ¿Cómo mejorar la medición? ¿Desde dónde lanzar la muñeca una vez superados los primeros pasos, cuando la altura de una mesa deja de servir para el experimento? Fue fantástico ver a los grupos generar distintas estrategias, copiar ideas de otros y mejorarlas, tomar varias medidas y hacer medias...
Una vez recogidos todos los datos, se representan en una gráfica. A poco cuidado que hayan tenido al tomar los datos, reconocerán el modelo lineal (en nuestro caso veníamos de ver representación de ecuaciones lineales como rectas, resolución de sistemas... así que lo vieron al instante...). No obstante, no se obtienen datos perfectamente alineados (y aquí hay una buena oportunidad para que los alumnos reflexionen por qué: las medidas no son exactas, los nudos en las gomillas no son todos iguales, etc...)
¿Cómo calcular la recta? En mi caso, les expliqué que había dos métodos: "a ojo" y utilizando una fórmula para calcularla. Les mostré cómo obtener el valor de la pendiente usando la función ESTIMACIÓN.LINEAL en una hoja de cálculo, lo que dio pie a discutir sobre el valor que habíamos obtenido. No costó mucho que se dieran cuenta por sí solos de que era lo que avanza la Barbie con cada gomilla nueva. Dado que el concepto de pendiente no ha sido trabajado aún (conocen el concepto pero no hemos trabajado sobre el significado) aquí me he ahorrado muchas horas de explicaciones y ejercicios que, otros años, han sido completamente inútiles).
También pudimos repasar lo que significa el término independiente, la intersección con el eje de ordenadas. En nuestro caso, la altura de la Barbie. El valor de partida para un número nulo de gomillas.
Una vez obtenida la recta, los alumnos midieron la altura desde la que iban a lanzar a la Barbie. Esto no lo tenía programado, pero estuvo bien ver a cada grupo, por separado, medir una altura bastante alta (4,30 m) con una cinta métrica ("¡Tienes que ponerla recta!" "¿Y si la pegamos a la pared?").
Con ese dato, solo restaba obtener el número de gomillas necesario. Para ello les di la opción de recurrir a Geogebra o resolver la ecuación a mano. Hubo división de opiniones en cuanto a qué era lo más sencillo. Ganó la ecuación a mano. ("Maestro, ¿y esto para qué sirve?" ¡Toma ya!).
Pudimos hablar también sobre los márgenes de seguridad: pasarse un milímetro en esta experiencia es catastrófico (no queremos una muñeca con la crisma abierta), quedarse medio metro o un metro corto... pues no pasa nada. Bastante emocionante es para la muñeca saltar desde una altura de 20 veces su tamaño (Punto para otro año: ¿desde qué altura habría de saltar una persona para un salto equivalente?). Este punto era bastante importante ya que cada grupo disponía de un solo intento para realizar su salto. Debían solicitar su número deseado de gomillas, montar la cuerda y lanzar la muñeca. Los cálculos debían ser cuidadosos y conservadores ya que un error grave sería irreparable...
Los saltos fueron bastante bien... Se organizó algo más de follón en el pasillo de lo que yo hubiera deseado, pero es que cuando el cuarto grupo hizo saltar a su Barbie para que se quedara a escasos quince centímetros del suelo, ¡hasta yo me puse a gritar! (El vídeo se ve muy borroso pero fijándose en la parte de abajo se ve como casi roza el suelo...)
Terminamos la actividad haciendo un repaso de todos los pasos el experimento y evaluaremos la actividad con el resumen escrito (en inglés, por aquello del bilingüismo) que deben entregarme. Además, aprovecharemos que tenemos una visita de un grupo de alumnos de intercambio desde Francia para que expliquen oralmente el experimento y las conclusiones.
