El pasado 11 de mayo se celebraron las II Jornadas de Buenas Prácticas Educativas celebradas en el CEP de Granada. Invitado por Ezequiel García, participé como ponente con una charla sobre la metodología de "Matemáticas en 3 actos". Fue la primera vez que di una charla en público: passados los nervios, la inseguridad propia de estas situaciones ("¿Quién soy yo para contar nada? ¿De verdad lo que tengo que decir es interesante?") y algún que otro problema técnico, al final quedé bastante satisfecho...
Los organizadores, que hicieron un trabajo fantástico a lo largo de los dos días que duraron las jornadas, acaban de actualizar la web de las jornadas con los vídeos de las charlas y de las actividades que se realizaron. Aprovecho y enlazo aquí también mi charla, de forma que, si alguno se anima, podáis criticar me (constructivamente o no), darme consejos para la próxima, etc... Al principio solo se me ve a mí, y no la pantalla en la que se proyectan las imágenes de la presentación, pero pasados unos minutos se amplía el cuadro y se puede seguir un poco mejor:
What questions do you have? What can we calculate here?
Al realizar esta actividad con el alumnado, muchos preguntaron espontáneamente si el acuario no se rompía. Este tipo de preguntas pueden ser fácilmente redirigidas a la que se va a resolver: ¿cuántos litros de agua hay? Dependiendo del nivel del alumnado, se pueden trabajar conceptos como presión, resistencia de materiales, etc...
How many litres of water are there?
Write a guess that you know is too low.
Write a guess too high (el número de litros de agua en un recipiente suele sorprender a los alumnos, que no esperan cantidades como un millón de litros)
Write an accurate guess.
What data do you need to solve this problem? What are you going to do with them?
ACT 2
Information about the Berlin Aquadom:
The diameter of the inner cylinder (the elevator) is 7 meters.
Uno de mis objetivos, con esta actividad, era el de escribir toda la operación con una sola fórmula. Esto es, trabajar con lenguaje algebraico (sin datos) hasta obtener una fórmula lo más simplificada posible, en este caso:
This is the 200m race starting positions of the 2nd semifinal of the 2012 Olympics in London.
What question come to your mind? Let us focus on these ones: Why are they not aligned? How far apart are they?
Write a guess that you know is too high. Write a guess you know is too low.
Write an accurate guess.
What data do you need to answer the question? What is your strategy?
ACT II
Where does the runner in lane 1 start? What about the others?
ACT III
http://www.brianmac.co.uk/tracklane.htm -- Link to calculate the distance run by each athlete in a full lap. Introduce the lane width and obtain the total length of a lap for each lane.
SEQUEL
En la final, los corredores más rápidos son situados en las calles centrales. ¿Por qué crees que se les coloca en esa posición? ¿Qué calle preferirías para correr?
(Actividad original de Dan Meyer -- Enlace AQUÍ CC BY-NC 3.0 Dan Meyer From a clip found by Timon Piccini Futurama copyright 20th Century Fox)
ACTO I
Aunque el vídeo está en inglés debe ser sencillo de entender, especialmente si los alumnos están familiarizados con la serie Futurama. En cualquier caso, con una breve explicación de la situación debería bastar: "Fry, que ha despertado en el futuro tras pasar congelado mil años, acude a su viejo banco para sacar el dinero de su cuenta. Tras pasar la tarjeta por el viejo lector, la empleada del banco comprueba que, efectivamente, tenía unos pocos céntimos en su cuenta y al aplicarle el interés anual durante mil años se obtiene una cantidad que provoca en Fry una curiosa reacción"
¿Cuánto dinero ha acumulado Fry en su cuenta?
Escribe una cantidad demasiado alta. Una demasiado baja.
Trata de estimar acertadamente la cantidad.
ACTO II
Los datos se encuentran en el propio vídeo: "Tenía un balance de 93 centavos que a un interés medio del 2,25% (dos y un cuarto) en un periodo de mil años hace un total de .... dólares".
ACTO III
"... que a un interés medio del 2,25% (dos y un cuarto) en un periodo de mil años hace un total de 3,4 miles de millones de dólares" (en el vídeo dice 3.4 billion dollars, hay que recordar que el billion americano se corresponde con nuestros miles de millones).
SECUELAS
En mil años Fry ha conseguido esa enorme cantidad de dinero. ¿Cuánto tardará en conseguir el doble?
¿Cuánto tiempo pasará hasta conseguir un billón de dólares (a trillion dollars)?
¿Cuánto dinero es 3400 millones de dólares en euros? ¿Qué representa esa cantidad?
En diciembre de 2012, el equipo de CubeWorks (Toronto, CA) pulverizó el extraño récord mundial de "Mayor Mosaico realizado con cubos Rubik". ¿Cuántos cubos utilizaron?
Escribe una cifra que consideres demasiado baja. Una demasiado alta.
Escribe una cifra que consideres adecuada.
¿Qué datos necesitarás para responder a la pregunta? ¿Por qué?
ACTO II
En Internet hay numerosas noticias que muestran el número exacto de cubos utilizados para posteriormente dar los datos de longitud y altura del mosaico. Yo he optado por hacer la siguiente captura de pantalla del mosaico completo y el pie de foto que incluye las medidas: 220 ft x 13 ft.
En cuanto a las medidas del cubo de Rubik, según mi búsqueda el tamaño estándar es de 2.2 pulgadas de largo (y, como es un cubo, las mismas de ancho y alto). Eso equivale a 5.6 cm, aunque en la web oficial de Rubik se dice que es de 5.5 cm... Tengo que confesar que este dato me extraña (por ser demasiado pequeño: en mi mente un cubo de Rubik es algo mayor). No obstante, todos los foros de frikis y demás que he podido encontrar corroboran esta medida como el estándar de la compañía (quizá yo tenía un Rubik pirata). Para mostrar el dato he elegido una captura de pantalla de Yahoo! Answers ya que especifica que, de hecho, ha realizado la medición sobre su Rubik.
Un pie mide exactamente 30,48 cm y hay 12 pulgadas en un pie.
ACTO III
Hay multitud de noticias en Internet donde se muestra la solución correcta. En la web de los creadores se encuentra la siguiente imagen:
SECUELAS
¿Hemos obtenido la respuesta exacta? ¿Por qué? ¿Cuál es nuestro porcentaje de error? ¿Es aceptable? ¿Cuánto tendríamos que añadir/quitar al largo/ancho del mural para obtener el mismo resultado?
¿Cuánto ha costado realizar el mural?
¿Cuántos cubos de Rubik necesitaríamos para cubrir la pared de la clase?
Proyecto conjunto con Ed. Plástica: Realizar un mural juntando pequeñas piezas de colores (ya que mediante cubos de Rubik el presupuesto se dispararía...). ¿Cuánto medirá el mural? ¿Cuántas piezas necesitaremos? ¿Cuántas de cada color?
El siguiente vídeo muestra un time-lapse sobre el montaje. Se puede parar a la conclusión del primer día de montaje y plantear la pregunta de cuánto tiempo van a tardar en total.
En la web de CubeWorks hay numerosos ejemplos de otros montajes con cubos Rubik, piezas de Lego, rotuladores...
Tenía mucha ilusión por esta actividad. Me costó un par de horas peleándome con el Geogebra (con el que todavía no he trabajado mucho y, por tanto, no tengo mucha soltura) para conseguir la configuración perfecta (bueno, perfecta... digamos satisfactoria): los colores, la posición inicial, las posibilidades de ayuda...
Avisé con un par de días de antelación al alumnado de que trajeran los ordenadores, confié en que, después de la experiencia con las Barbies y otros experimentos que hemos realizado se ilusionarían, sospecharían que algo interesante estaba tramando y, consecuentemente, traerían su material en perfecto estado. Ya. Claro. Lo sé. Nueve personas de un total de treinta y dos trajeron sus ordenadores. Desastre. Charleta a los alumnos sobre la responsabilidad, la profesionalidad, el compromiso... Dejé caer que se trataba de diseñar un videojuego. Que habían perdido la oportunidad.
Ahora sí: a la semana siguiente vuelvo a pedir ordenadores. ¡Esta vez sí! Hay suficientes para que los grupos tengan un tamaño razonable (casi todos con su ordenador, algunas parejas, un par de grupos de 3) y podamos dedicarnos al juego. Pero... ¡no funciona! Versiones antiguas de Geogebra, incompatibilidades, la PDI que se cuelga... Niños, lo siento mucho. Cerrad los ordenadores, vamos a hacer otra cosa hoy y mañana será otro día. Arreglo lo que puedo por la tarde, rediseño un par de cosas...
Venga, hoy sí que sí. Hoy todo va a funcionar. Ya tengo cubiertas todas las inconveniencias que se puedan presentar. Salvo un detalle, claro. Viernes. Maldito viernes. No hay forma de que se callen. No puedo dar las instrucciones. Vengo cansado de otra clase, quizá pago el pato con ellos: "¡Se acabó! ¡Así no se puede trabajar! ¡Cerrad los ordenadores y sacad las libretas! Si lo que queréis es un sargento que hable y hable mientras vosotros calláis y trabajáis, eso es lo que tendréis". Media hora de tiza, pizarra, caras largas...
A ver si el próximo día se puede. A ver si aprendo...
What question comes to your mind? / ¿Qué preguntas se te ocurren?
How many carts are there? How long is the line? / ¿Cuántos carritos hay? ¿Cuánto mide la fila?
How many carts are there at your local supermarket? How long would they measure if we stacked them? / ¿Cuántos carros hay en el supermercado de tu barrio/pueblo? Si los unimos todos, ¿cuánto mediría esa fila?
La pregunta a realizar puede ser cualquiera que involucre el número de carros y la longitud de la fila. La idea es encontrar una función f(x)=ax+b donde b es la longitud del primer carrito y a lo que cada carrito añade a la fila (lo que sobresale al encajarlos). Esto puede utilizarse en 1º/2º ESO como problema de ecuaciones (¿cuántos carritos necesitamos para hacer una fila de un kilómetro / una fila de aquí a vuestra casa ...?) o en 3º/4º ESO como una función lineal incidiendo en el concepto de pendiente, ordenada en el origen, etc...
ACT II
Dos tamaños de carrito distintos. Hay otras medidas por si surgen preguntas adicionales.
ACT III
En este caso no hay...
SEQUEL I
How long would that lane be? How can we understand such a huge number? / ¿Cuánto mediría la fila que formarían los cuatro millones de carritos de Walmart? ¿Cómo podemos comprender esa medida?
SEQUEL II
At the supermarket, you come across with the following situation:
What lane would you choose? (Note the difference between the words line and lane)
What about now? Can we create a model to decide in which lane should we stand?
Una pregunta interesante relacionada con los carritos de la compra es: ¿en qué fila debe uno colocarse cuando hay varios cajeros en el supermercado? Imaginemos una fila con muchas personas pero con pocos objetos cada una y otra con pocas personas pero el carro lleno... ¿qué fila sería conveniente? Sobre este problema se puede encontrar material muy interesante en dos entradas del blog de Dan Meyer: 1 (introducción) y 2 (datos, imágenes, recursos, planteamiento...).
What can you see in the following picture? Name three thing in the picture.
Can you think of any mathematical question related to the picture?
This lighthouse is located in Zahara de los Atunes (Cádiz). Let us calculate its height. Is the picture above a good one? Why/why not? What do we need?
We need some reference in order to calculate the height of the lighthouse. Is the picture above a good one? Why/why not?
We need the reference to be located at the same plane than the lighthouse, otherwise it would be distorted... Can you calculate the height of the lighthouse now?
Write a guess that you think is too low. Write a guess too high. Write an accurate guess.
Do you know this movie? What is it about? Can you describe the plot?
What is happening in this scene?
What speed does the Delorian reach in order to time travel?
Vamos a traducir esta escena al español. ¿Cómo traducirías la velocidad? ¿88 millas por hora? Trata de adivinar cuánto va a ser. Haz una estimación demasiado baja y otra demasiado alta. Trata de estimar el valor exacto.
Do you think it was a good translation? Can you propose any alternative?
ALGUNAS CONSIDERACIONES
Esta actividad tiene mucho contenido lingüistico y poco matemático. Realmente, la complejidad de la tarea desde el punto de vista matemático es muy baja y se limita a una simple multiplicación. Hay más miga en las diferencias que se obtienen al usar más o menos decimales al tomar el valor en km de una milla. Se pueden repasar los redondeos, aproximaciones por defecto o por exceso, conveniencia de utilizar más o menos posiciones decimales (no tiene sentido para la traducción de la película pero sería necesario para contruir la máquina). Cuando hice esta actividad me acuerdo de la famosa anécdota de la Mars Climate y el error de cálculo que provocó que se estrellara. A los alumnos les encanta saber que hay ingenieros aeronáuticos más torpes que ellos.
Enlace a la actividad original de Dan Meyer aquí. Las fotografías pueden descargarse con mejor resolución desde su página.
ACTO I
¿Qué ves aquí? Describe la imagen. ¿Qué formas hay? ¿Cómo está estructurado?
¿Qué preguntas se te ocurren?
¿Cuáles de ellas se pueden resolver matemáticamente?
Elegimos la pregunta. En este caso puede ser cuántos coches forman el círculo, cuánto cuesta, cuántos coches hay de cada color... Todas ellas, al final, se reducen a cuántos coches hay. De todas formas, no hay que evitar las posibles derivaciones que surjan del problema: si a un alumno/a se le ocurre una pregunta distinta e interesante, exploremos las posibilidades que ofrece.
ACTO II. ¿Cuántos coches hay?
Trata de estimar el número de coches. Escribe primero un número que sea demasiado alto. Escribe otro que sea demasiado bajo. Trata de afinar. Escribe tu apuesta para el número de coches.
¿Cómo podrías calcular el número de coches en la figura? ¿Qué datos necesitarías? ¿Qué harías con ellos una vez que los hubieras obtenido?
¿De cuánto ha sido tu error? ¿Qué porcentaje de error supone?
Se estima que desde 1967 se han producido un total de 10,000 modelos diferentes de coches de esta marca. ¿Cuánto ocuparía un círculo construido con esos coches?
Coge una cuerda de 1 metro y haz un círculo con ella. ¿Cuántos coches cabrían en él?
¿Cuánto costaron los materiales para realizar el círculo?
Cuando vi esta actividad en el blog de Fawn Nguyen supe que tenía que cambiar mi forma de dar clases y aprender a realizar este tipo de experiencias en el aula. Con un planteamiento sencillo pero brillante, es una oportunidad fantástica para aprender experimentando. Este año, por fin, me he atrevido y la cosa ha ido bastante bien. Ha habido algunos errores organizativos y un par de cosas que me hubiera gustado cambiar, pero no tengo ninguna duda de que el año que viene repetiré la experiencia.
BARBIE BUNGEE JUMPING (Barbie se va de puenting)
Con tiempo (unos diez días de antelación) les comenté a los alumnos que íbamos a hacer algo diferente y que necesitaba que trajeran un material algo extraño: unas muñecas Barbie. El efecto gancho funcionó bastante bien: pasaron los siguientes días preguntándose qué íbamos a hacer con ellas, para qué serían, qué tienen que ver las Barbies con las matemáticas... Al menos se creó algo de expectativa. Por otro lado, debí asegurarme de que tenía todas las muñecas necesarias antes de comenzar la actividad. Había calculado que los grupos debían ser de 4 miembros para que el reparto de trabajo estuviera equilibrado y para ello necesitaba 8 muñecas. El día en que comenzamos la actividad solo disponíamos de cinco muñecas, por lo que los grupos fueron finalmente demasiado numerosos (punto para corregir el próximo año).
Comenzamos la actividad con el título: Barbie Bungee Jumping. ¿Sabéis lo que es el bungee jumping? ¿Podéis describir ese deporte? ¿Qué otros deportes extremos conocéis? (Aquí se puede trabajar algo de vocabulario en inglés, descripciones, etc...).
A continuación vimos el siguiente vídeo de saltos desde el puente de Ibagué, en Colombia:
¿Qué matemáticas hay involucradas? La altura del salto, el peso de la persona... ¿Qué es lo que tiene que calcular muy bien la empresa que realiza los saltos para no correr riesgos? La longitud de la cuerda.
Pues bien, vamos a ponernos en la piel de esa empresa. Queremos realizar un salto con Barbie desde una altura determinada (que ya conoceremos más adelante). Para ello, disponemos de un poco de cuerda elástica para realizar experimentos (no mucha, ya que la cuerda elástica es un material caro... bueno, nosotros vamos a simularlo con gomillas elásticas, pero da igual).
Planteamos pues la actividad:
Cada grupo dispone de una muñeca y 7 gomillas, una para atarla en los tobillos a la muñeca y otras 6 para construir la cuerda. Además, cuentan con una cinta métrica para poder medir la caída. Al terminar los experimentos pertinentes habrán de solicitar un número adicional de gomillas para construir la versión definitiva de su cuerda y dispondrán de un solo intento para realizar el salto. Ganará el equipo cuyo salto sea más emocionante... pero seguro.
Lo suyo es que sean los propios alumnos quienes decidan cómo van a realizar el experimento, pero... yo no me pude resistir a indicarles un poco lo que debían hacer (otro punto para corregir el próximo año). Sujetamos la muñeca por la gomilla atada a sus tobillos y la dejamos caer: ésa será la altura a la que llega con 0 gomillas.
Añadimos una gomilla y repetimos, dejando caer la Barbie y viendo qué altura alcanza ahora. Anotamos.
Añadimos progresivamente las gomillas, anotando las alturas a las que llega la muñeca en cada salto. (Si los alumnos no están acostumbrados a realizar experimentos realizarán esta parte muy deprisa y sin el cuidado debido... tampoco pasa nada: se pierde un poco más de tiempo y aprenden que, si no quieren repetir todo el trabajo, tienen que pensar en los posibles inconvenientes antes de lanzarse).
En todo el proceso surgen varios inconvenientes: ¿cómo medir la distancia a la que llega la muñeca de forma exacta? ¿Cómo mejorar la medición? ¿Desde dónde lanzar la muñeca una vez superados los primeros pasos, cuando la altura de una mesa deja de servir para el experimento? Fue fantástico ver a los grupos generar distintas estrategias, copiar ideas de otros y mejorarlas, tomar varias medidas y hacer medias...
Una vez recogidos todos los datos, se representan en una gráfica. A poco cuidado que hayan tenido al tomar los datos, reconocerán el modelo lineal (en nuestro caso veníamos de ver representación de ecuaciones lineales como rectas, resolución de sistemas... así que lo vieron al instante...). No obstante, no se obtienen datos perfectamente alineados (y aquí hay una buena oportunidad para que los alumnos reflexionen por qué: las medidas no son exactas, los nudos en las gomillas no son todos iguales, etc...)
¿Cómo calcular la recta? En mi caso, les expliqué que había dos métodos: "a ojo" y utilizando una fórmula para calcularla. Les mostré cómo obtener el valor de la pendiente usando la función ESTIMACIÓN.LINEAL en una hoja de cálculo, lo que dio pie a discutir sobre el valor que habíamos obtenido. No costó mucho que se dieran cuenta por sí solos de que era lo que avanza la Barbie con cada gomilla nueva. Dado que el concepto de pendiente no ha sido trabajado aún (conocen el concepto pero no hemos trabajado sobre el significado) aquí me he ahorrado muchas horas de explicaciones y ejercicios que, otros años, han sido completamente inútiles).
También pudimos repasar lo que significa el término independiente, la intersección con el eje de ordenadas. En nuestro caso, la altura de la Barbie. El valor de partida para un número nulo de gomillas.
Una vez obtenida la recta, los alumnos midieron la altura desde la que iban a lanzar a la Barbie. Esto no lo tenía programado, pero estuvo bien ver a cada grupo, por separado, medir una altura bastante alta (4,30 m) con una cinta métrica ("¡Tienes que ponerla recta!" "¿Y si la pegamos a la pared?").
Con ese dato, solo restaba obtener el número de gomillas necesario. Para ello les di la opción de recurrir a Geogebra o resolver la ecuación a mano. Hubo división de opiniones en cuanto a qué era lo más sencillo. Ganó la ecuación a mano. ("Maestro, ¿y esto para qué sirve?" ¡Toma ya!).
Pudimos hablar también sobre los márgenes de seguridad: pasarse un milímetro en esta experiencia es catastrófico (no queremos una muñeca con la crisma abierta), quedarse medio metro o un metro corto... pues no pasa nada. Bastante emocionante es para la muñeca saltar desde una altura de 20 veces su tamaño (Punto para otro año: ¿desde qué altura habría de saltar una persona para un salto equivalente?). Este punto era bastante importante ya que cada grupo disponía de un solo intento para realizar su salto. Debían solicitar su número deseado de gomillas, montar la cuerda y lanzar la muñeca. Los cálculos debían ser cuidadosos y conservadores ya que un error grave sería irreparable...
Los saltos fueron bastante bien... Se organizó algo más de follón en el pasillo de lo que yo hubiera deseado, pero es que cuando el cuarto grupo hizo saltar a su Barbie para que se quedara a escasos quince centímetros del suelo, ¡hasta yo me puse a gritar! (El vídeo se ve muy borroso pero fijándose en la parte de abajo se ve como casi roza el suelo...)
Terminamos la actividad haciendo un repaso de todos los pasos el experimento y evaluaremos la actividad con el resumen escrito (en inglés, por aquello del bilingüismo) que deben entregarme. Además, aprovecharemos que tenemos una visita de un grupo de alumnos de intercambio desde Francia para que expliquen oralmente el experimento y las conclusiones.
Write a guess that you know is too high. Write a guess that you know is too low.
Make an estimation.
What pieces of data do you need to answer the question?
ACT II
El alumnado necesitará los datos de longitud y anchura del puente. Pueden obtenerse de la página de la Wikipedia del Verrazano-Narrows Bridge. La estimación de la densidad de corredores por metro cuadrado es un buen ejercicio para hacer en clase. Primero deben estimar, a ojo, cuántos corredores les parece razonable que quepan en un metro cuadrado. Después deben visualizar ese espacio (las baldosas del suelo pueden ayudar: suelen medir 40 cm de lado). En una de mis clases hice que varios alumnos se levantaran e intentaran juntarse en ese espacio: ayudó enormemente a que pudieran realizar la estimación de forma correcta.
ACT III
Datos de participantes que finalizaron la prueba en sucesivos años en la entrada de Wikipedia de New York City Marathon.
SEQUEL
¿Hemos obtenido la respuesta correcta? ¿Nos hemos aproximado lo suficiente? ¿Qué estimaciones hemos realizado erróneamente? ¿Cuál es el dato exacto de densidad de corredores?
How many is 47 thousand? Datos relacionados con el número de
participantes.... ¿Cuánta gente vive en nuestro pueblo/ciudad? ¿Cómo se
compara con esos 47 mil? ¿Qué espacio llenaríamos si nos juntáramos
todos los del pueblo? ¿Cabríamos en el patio del instituto?
Contenido de la lección — CC BY-NC 3.0 Ignacio Mancera Imágenes obtenidas de Wikipedia.
Descubrí la idea de las "Matemáticas en 3 actos" a partir de una charla de Dan Meyer en TED.com llamada "Las clases de matemáticas necesitan un cambio de imagen". Hablaba sobre educación matemática y las posibilidades que se abrían con las nuevas tecnologías y la introducción de pizarras digitales, proyectores, tabletas, etc... en el aula. Hablaba, sobre todo, de cambiar la letanía de los problemas clásicos de los libros de texto: "Juan compra trescientos lápices a 0,35 € cada uno y luego los vende en cajas de doce lápices a 5 € la caja. ¿Cuál será el beneficio total que obtendrá Juan?". Desde que empecé en esto de la enseñanza supe que no quería realizar ese tipo de problemas en clase. Desde algo antes sé que debería pasar la mayor parte del tiempo en clase resolviendo problemas. No: los alumnos deberían pasar la mayor parte del tiempo en clase resolviendo problemas. Hablando sobre los problemas, sobre las estrategias, sobre las soluciones. Dar respuesta al tan odiado: "Maestro, y esto, ¿para qué sirve?".
La idea central de las Matemáticas en 3 actos es esa: cambiar la forma en que se plantean los problemas estructurándolos en tres actos.
Acto I. En lugar de ofrecerle un párrafo más o menos largo con más o menos conexión con la realidad, ponedle delante de una situación llamativa, interesante, curiosa o que, de alguna forma, suscite preguntas. Preguntas que vengan de los alumnos, no del profesor.
Acto II. En lugar de ofrecerle los datos enmarcados en un texto (o en el mejor de los casos, una imagen), esconderlos, retrasarlos, forzar a que sea el propio alumno quien pida determinados datos, mediciones, estimaciones... Que invente, si quiere, sus propios datos.
Acto III. Una vez resuelto el problema, mostrar la solución. Corroborar la solución: es cierto que tardaba tanto como hemos calculado, que mide lo mismo que nos ha salido... ¿O no? Abrir la discusión acerca del resultado y de conceptos que normalmente escapan al aula. Aproximaciones, estimaciones, errores...
No hay panaceas, no existen ungüentos milagrosos, ni métodos fantásticos que solucionen los mil y un problemas de aprender y enseñar. Pero yo siento que he mejorado como profesor. Que mis clases han mejorado, que mis alumnos hablan, ahora, mucho más de lo que solían intervenir en mis primeras clases. Por algún sitio hay que empezar.
