Optimización y derivadas

Tengo un cariño especial por este problema, ya que fue uno de los ejercicios de un examen de 3º BUP que me hizo empezar a amar las Matemáticas. Sí, lo he dicho bien: un examen me hizo amar las Matemáticas. Recuerdo salir del aula, comparar las respuestas con los compañeros y exclamar: "Ha sido el examen que más he disfrutado en toda mi vida".

Problema de maximización del ángulo con el que se ve la portería.

[FUNCIONES] Matemáticas en el Deporte

(Actividad basada en la original de NRICH -- Enlace AQUÍ)

Las pruebas combinadas (pentatlón/heptatlón/decatlón) constituyen una de las disciplinas más completas del Atletismo. Consistente en 5/7/10 pruebas que se celebran en tan solo dos días, pone a prueba la fuerza, flexibilidad y resistencia de sus practicantes.

Para valorar la actuación de cada atleta, se le conceden una cantidad de puntos en cada una de las pruebas según la marca realizada. La forma de asignar estos puntos da pie a una interesante actividad que, haciendo variar la dificultad, puede realizarse desde 3º ESO (e incluso 2º) hasta Bachillerato.

Existen dos tipos de pruebas: las de pista (carreras) y las de campo (saltos y lanzamientos). Según sea de uno u otro tipo se utiliza una fórmula para calcular la puntuación:

Mediante una presentación guiada, se plantean tres actividades:

1. Razonar qué fórmula se aplica para cada tipo de prueba, teniendo en cuenta lo que debe ocurrir al aumentar/disminuir la marca.
2. Representar gráficamente las funciones en Geogebra (u otro software de representación gráfica) y hacer un estudio de las funciones utilizadas.
3. Utilizar una hoja de cálculo para calcular la puntuación de dos atletas (Bárbara Hernando, plusmarquista española y Jessica Ennis, campeona olímpica y mundial)

Recursos descargables:

• Presentación (PPT)
• Hoja de cálculo con los parámetros en cada prueba y las marcas de las atletas (XLS)

[1º/2º ESO] Sexagesimal vs decimal

La diferencia entre los sistemas decimal y sexagesimal para medir el tiempo es un escollo habitual para el alumnado de primer ciclo de la ESO. He intentado, a lo largo de los últimos años, numerosos enfoques y actividades para que comprendan esa dualidad, cómo manejarse de uno a otro, por qué es importante dominar ambos...

Este es un intento más: un applet de Geogebra en el que se puede mostrar un reloj dividido según el sistema sexagesimal o según el sistema decimal.

Mostrando un sistema u otro alternativamente (o ambos a la vez) se puede ver la equivalencia entre ambos sistemas. Espero que sea útil para zanjar una cuestión que, curso tras curso, me desespera...

ENLACE AL APPLET EN GEOGEBRA (descargable)

Inmersión (NRICH)

(Actividad original de NRICH -- Enlace AQUÍ)

Consideremos los siguientes sólidos:

• Una esfera de radio 1cm
• Un cilindro sólido de altura 4/3 cm y radio 1 cm.
• Un cono sólido cuyo radio de la base sea de 1 cm y de 4 cm de altura.
• Un tubo cilíndrico hueco de altura 4/3 cm de radio externo 2 cm y radio interno 1 cm.

Haz un boceto de cada uno de los sólidos y calcula el volumen de cada uno de ellos.

Se realizan una serie de experimentos en el que se hace descender mediante un cordel fijado a un punto de cada sólido a un depósito con agua, a una velocidad de descenso de 1 cm/s. Se trazan las gráficas de volumen desplazado de agua contra el tiempo transcurrido.

Los resultados son:

1. ¿Qué representa cada uno de los ejes?
2. ¿Qué curva se corresponde con cada sólido? ¿En qué orientación se introduce cada sólido en el depósito? (Hay un sólido que se usa dos veces, en dos orientaciones distintas)
3. ¿Puedes dibujar la gráfica que correspondería a diferentes orientaciones de cada sólido?
4. Imagina un sólido de forma diferente: ¿cómo sería su gráfica?

Bases de datos para proyectos estadísticos

Si se desea realizar un proyecto estadístico con el alumnado en el aula, una buena opción es acudir a bases de datos reales de las instituciones nacionales y europeas como el Instituto Nacional de Estadística, Eurostat o, en Andalucía, el SIMA (Sistema de Información Multiterritorial).

A través de Google Public Data podemos acceder también a numerosas bases de datos de organismos internacionales como el Banco Mundial, el Fondo Monetario Internacional, la OCDE, etc. La herramienta de Google permite no sólo acceder a esos datos, sino que los muestra en gráficos dinámicos e interactivos. Además, con Google Charts disponemos de una poderosa herramienta para generar ese tipo de gráficos que van un paso más allá de los típicos que podemos crear con una hoja de cálculo estándar.

Otro tipo de organismos que pueden servir para realizar proyectos estadísticos con datos reales son las de ONGs como Médicos Sin Fronteras, Oxfam Internacional, ACNUR, etc., que suelen publicar en sus memorias anuales numerosas tablas y datos acerca de sus acciones, fuentes de financiación, desglose de gastos... Amnistía Internacional dispone, a través de su web, de un Centro de Documentación donde obtener numerosos recursos.

Por último, en Gapminder, el proyecto de Hans Rosling (un habitual de las charlas de TED), disponemos de datos y herramientas dinámicas de representación gráfica muy útiles y con interesantes posibilidades desde un punto de vista docente y transversal (por ejemplo, en la gráfica que compara la renta per cápita y la esperanza de vida de todos los países del mundo desde 1800 hasta hoy, se puede seguir la evolución de Alemania y EE.UU. y comparar cómo las guerras mundiales afectaron de forma diferente a su economía, o analizar la evolución de Brasil, Rusia, India, China y Sudáfrica -los llamados BRICS- para analizar su crecimiento económico en las últimas décadas.

[4º ESO] Puzzle de logaritmos

Actividad creada con Tarsia para practicar en grupo con la definición de logaritmo y sus propiedades..

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[3º/4º ESO] Puzzle de exponentes negativos

Actividad creada con Tarsia para practicar con fracciones y exponentes negativos.

En grupos de 3-5 personas, el alumnado debe montar un puzzle combinando operaciones con números racionales y exponentes enteros.

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Pirámides numéricas

Esta actividad está inspirada en la tarea Number Pyramids de NRICH, una web con numerosos recursos muy interesantes, con problemas para pensar y desarrollar el pensamiento matemático, tareas pequeñas con las que empezar una clase, proyectos más ambiciosos, retos, contenidos interactivos, descargables.... Es una verdadera maravilla, una de las páginas más inspiradoras que conozco.

Se trata de un juego muy sencillo: introduciendo números en las casillas azules (cualquier tipo de número, sea negativo, fraccionario, decimal, etc...) aparecerán otros números en las casillas amarillas, resultado de sumar los dos números inferiores. En la actividad se plantea a los alumnos conseguir que la casilla superior sea cero y encontrar la expresión algebraica que determina la casilla superior a partir de los números introducidos.

Otra idea fundamental será la generalización: a partir de los ejemplos más sencillos, los niveles más altos pueden obtenerse mediante inducción.

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Es interesante realizar esta actividad dentro de las primeras semanas dedicadas al Álgebra y está dirigida a alumnos de 1º o 2º de la ESO, aunque los de 3º y 4º también pueden sacarle provecho, especialmente si ya conocen el triángulo de Tartaglia, que aparece en los coeficientes de las expresión algebraica para hallar el número superior.

La tarea es muy abierta y, dependiendo del tiempo que se desee dedicar, se pueden plantear más preguntas y retos que lleven a discusiones interesantes.

Cuando digo que la tarea está inspirada en Number Pyramids es que me he limitado a traducirla y a ponerla en un archivo de hoja de cálculo, de forma que puede ejecutarse en la práctica totalidad de los ordenadores de aula y no necesita de conexión a internet. La versión de NRICH es mucho más completa, con ramificaciones a preguntas más complejas, variaciones, recursos para el profesorado e imprimibles, etc. (de hecho, creo que también tienen una versión en hoja de cálculo). Si el inglés no es un problema para la clase en la que vayas a usarlo, recomiendo utilizar la versión original.

Reto de cálculo de áreas

Observa la siguiente figura. Quizás la hayas visto trazada alguna vez o la hayas dibujado jugando con un compás (que es lo único que se necesita para dibujarla). ¿Sabrías hallar su área?